حل 3y^2+11y-4

$$3 y ^ { 2 } + 11 y - 4$$

عامل

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3y^{2}+ay+by-4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=-1 b=12$$

3y^{2}+11y-4 را به‌عنوان \left(3y^{2}-y\right)+\left(12y-4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3y^{2}-y\right)+\left(12y-4\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$y\left(3y-1\right)+4\left(3y-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3y-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$3y^{2}+11y-4=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

11 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

121 را به 48 اضافه کنید.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$y=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$y=\frac{-11±13}{6}$$

اکنون معادله y=\frac{-11±13}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 13 اضافه کنید.

$$y=\frac{2}{6}$$

کسر \frac{2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله y=\frac{-11±13}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -11 تفریق کنید.

$$y=-\frac{24}{6}$$

-24 را بر 6 تقسیم کنید.

$$y=-4$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{1}{3} را برای x_{1} و -4 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$3y^{2}+11y-4=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$3y^{2}+11y-4=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+4\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{1}{3} را از y تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$3y^{2}+11y-4=3\times \frac{3y-1}{3}\left(y+4\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 3 و 3 کم کنید.

$$3y^{2}+11y-4=\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

ارزیابی

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$