حل 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 12 است فهرست کنید.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-4 b=-3$$

3x^{2}-7x+4 را به‌عنوان \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-4=0 و x-1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -7 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

-12 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

49 را به -48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{7±1}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 1 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{6}$$

کسر \frac{8}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{7±1}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 7 تفریق کنید.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-7x=-4$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

-\frac{7}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{6} شود. سپس مجذور -\frac{7}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{3} را به \frac{49}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

\frac{7}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$