حل 3x^2-7x+2=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=3\times 2=6$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 6 است فهرست کنید.

$$-1,-6 -2,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-6 b=-1$$

3x^{2}-7x+2 را به‌عنوان \left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 3x-1=0 را حل کنید.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -7 را با b و 2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 2}}{2\times 3}$$

-12 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 3}$$

49 را به -24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 3}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{7±5}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{7±5}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 5 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{6}$$

12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{7±5}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از 7 تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{6}$$

کسر \frac{2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}-7x+2-2=-2$$

تفریق 2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-7x=-2$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{2}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{2}{3}$$

-\frac{7}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{6} شود. سپس مجذور -\frac{7}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{2}{3} را به \frac{49}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{5}{6}$$

\frac{7}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$