حل 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+84 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 252 است فهرست کنید.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

جواب زوجی است که مجموع آن -32 است.

$$a=-18 b=-14$$

3x^{2}-32x+84 را به‌عنوان \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از -14 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-6=0 و 3x-14=0 را حل کنید.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -32 را با b و 84 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12 بار 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

1024 را به -1008 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 16 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

متضاد -32 عبارت است از 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{32±4}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 32 را به 4 اضافه کنید.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=6$$

اکنون معادله x=\frac{32±4}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4 را از 32 تفریق کنید.

$$x=\frac{28}{6}$$

کسر \frac{28}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{14}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

84 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

تفریق 84 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-32x=-84$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

-\frac{32}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{16}{3} شود. سپس مجذور -\frac{16}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

-\frac{16}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

-28 را به \frac{256}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

\frac{16}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$