حل 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -48 است فهرست کنید.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -2 است.

$$a=-8 b=6$$

3x^{2}-2x-16 را به‌عنوان \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-8=0 و x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -2 را با b و -16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

4 را به 192 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

متضاد -2 عبارت است از 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{2±14}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2 را به 14 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{6}$$

کسر \frac{16}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{8}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{2±14}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از 2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

16 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

تفریق -16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

-16 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-2x=16$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

-\frac{2}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{3} شود. سپس مجذور -\frac{1}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{16}{3} را به \frac{1}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{1}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$