حل 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

برای x حل کنید

$$x=-7$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

90 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

تفریق 90 را از 6 برای به دست آوردن -84 تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x^{2}+3x-28=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-28 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -28 است فهرست کنید.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 را به‌عنوان \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و x+7=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-7$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

90 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

تفریق 90 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

90 را از 6 تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 9 را با b و -84 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

81 را به 1008 اضافه کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1089 را به دست آورید.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±33}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 33 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{6}$$

24 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{-9±33}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 33 را از -9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{42}{6}$$

-42 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-7$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

تفریق 6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

6 را از 90 تفریق کنید.

$$3x^{2}+9x=84$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

9 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

84 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=28$$

3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{2} شود. سپس مجذور \frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 را به \frac{9}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

عامل x^{2}+3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=4 x=-7$$