حل 3x^2+8x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x + 4 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 12 است فهرست کنید.

$$1,12 2,6 3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

جواب زوجی است که مجموع آن 8 است.

$$a=2 b=6$$

3x^{2}+8x+4 را به‌عنوان \left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+2=0 و x+2=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 8 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

8 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\times 4}}{2\times 3}$$

-12 بار 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 3}$$

64 را به -48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 16 را به دست آورید.

$$x=\frac{-8±4}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-8±4}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±4}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8 را به 4 اضافه کنید.

$$x=-\frac{4}{6}$$

کسر \frac{-4}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±4}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4 را از -8 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+8x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+8x=-4$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=-\frac{4}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{4}{3} شود. سپس مجذور \frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{3} را به \frac{16}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

\frac{4}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$