حل 3x^2+7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 7 x + 4 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=3\times 4=12$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 12 است فهرست کنید.

$$1,12 2,6 3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=3 b=4$$

3x^{2}+7x+4 را به‌عنوان \left(3x^{2}+3x\right)+\left(4x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+3x\right)+\left(4x+4\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+1\right)\left(3x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+1=0 و 3x+4=0 را حل کنید.

$$x=-1 x=-\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+7x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 7 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

-12 بار 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

49 را به -48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-7±1}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±1}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 1 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

اکنون معادله x=\frac{-7±1}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{8}{6}$$

کسر \frac{-8}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-1 x=-\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+7x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+7x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+7x=-4$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

\frac{7}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{6} شود. سپس مجذور \frac{7}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

\frac{7}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{3} را به \frac{49}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

\frac{7}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-1 x=-\frac{4}{3}$$