حل 3x^2+4x-7=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -21 است فهرست کنید.

$$-1,21 -3,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 4 است.

$$a=-3 b=7$$

3x^{2}+4x-7 را به‌عنوان \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 3x+7=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 4 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

16 را به 84 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 100 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±10}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 10 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{-4±10}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10 را از -4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{14}{6}$$

کسر \frac{-14}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

تفریق -7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

-7 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}+4x=7$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{2}{3} شود. سپس مجذور \frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{7}{3} را به \frac{4}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$