حل 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 2 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

4 را به -12 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

ریشه دوم -8 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 2i\sqrt{2} اضافه کنید.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2} را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{2} را از -2 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2} را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+2x=-1$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{3} شود. سپس مجذور \frac{1}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{3} را به \frac{1}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

\frac{1}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$