حل 3x^2+10x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 10 x + 8 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=-2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+8 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=10 ab=3\times 8=24$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 24 است فهرست کنید.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

جواب زوجی است که مجموع آن 10 است.

$$a=4 b=6$$

3x^{2}+10x+8 را به‌عنوان \left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x+4\right)+2\left(3x+4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+4\right)\left(x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+4=0 و x+2=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 10 را با b و 8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

10 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\times 8}}{2\times 3}$$

-12 بار 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\times 3}$$

100 را به -96 اضافه کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$x=\frac{-10±2}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-10±2}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-10±2}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -10 را به 2 اضافه کنید.

$$x=-\frac{8}{6}$$

کسر \frac{-8}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{4}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-10±2}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از -10 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+10x+8-8=-8$$

تفریق 8 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+10x=-8$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=-\frac{8}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

\frac{10}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{3} شود. سپس مجذور \frac{5}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{8}{3} را به \frac{25}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{5}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$