حل 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

عامل

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3t^{2}+at+bt-32 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -96 است فهرست کنید.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 20 است.

$$a=-4 b=24$$

3t^{2}+20t-32 را به‌عنوان \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

در گروه اول از t و در گروه دوم از 8 فاکتور بگیرید.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3t-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

20 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

400 را به 384 اضافه کنید.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 784 را به دست آورید.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

اکنون معادله t=\frac{-20±28}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -20 را به 28 اضافه کنید.

$$t=\frac{8}{6}$$

کسر \frac{8}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t=\frac{4}{3}$$

اکنون معادله t=\frac{-20±28}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 28 را از -20 تفریق کنید.

$$t=-\frac{48}{6}$$

-48 را بر 6 تقسیم کنید.

$$t=-8$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{4}{3} را برای x_{1} و -8 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{4}{3} را از t تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 3 و 3 کم کنید.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

ارزیابی

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$