حل 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

برای q حل کنید

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3q^{2}+aq+bq+16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 48 است فهرست کنید.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

جواب زوجی است که مجموع آن -19 است.

$$a=-16 b=-3$$

3q^{2}-19q+16 را به‌عنوان \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

در گروه اول از q و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3q-16 فاکتور بگیرید.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3q-16=0 و q-1=0 را حل کنید.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -19 را با b و 16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-19 را مجذور کنید.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

-12 بار 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

361 را به -192 اضافه کنید.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

متضاد -19 عبارت است از 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

اکنون معادله q=\frac{19±13}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 19 را به 13 اضافه کنید.

$$q=\frac{32}{6}$$

کسر \frac{32}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$q=\frac{16}{3}$$

اکنون معادله q=\frac{19±13}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 19 تفریق کنید.

$$q=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$q=1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

16 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

تفریق 16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3q^{2}-19q=-16$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

-\frac{19}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{19}{6} شود. سپس مجذور -\frac{19}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

-\frac{19}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{16}{3} را به \frac{361}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

عامل q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

ساده کنید.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{19}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$