حل 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

برای p حل کنید

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3p^{2}+ap+bp+5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 15 است فهرست کنید.

$$-1,-15 -3,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -8 است.

$$a=-5 b=-3$$

3p^{2}-8p+5 را به‌عنوان \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

در گروه اول از p و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3p-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3p-5=0 و p-1=0 را حل کنید.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -8 را با b و 5 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-8 را مجذور کنید.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

-12 بار 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

64 را به -60 اضافه کنید.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

متضاد -8 عبارت است از 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

اکنون معادله p=\frac{8±2}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 8 را به 2 اضافه کنید.

$$p=\frac{10}{6}$$

کسر \frac{10}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$p=\frac{5}{3}$$

اکنون معادله p=\frac{8±2}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از 8 تفریق کنید.

$$p=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$p=1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

5 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

تفریق 5 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3p^{2}-8p=-5$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

-\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{4}{3} شود. سپس مجذور -\frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{5}{3} را به \frac{16}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

عامل p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

ساده کنید.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{4}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$