حل 3p^2+8p-3=0

$$3 p ^ { 2 } + 8 p - 3 = 0$$

برای p حل کنید

$$p=-3$$

$$p=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3p^{2}+ap+bp-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=8 ab=3\left(-3\right)=-9$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -9 است فهرست کنید.

$$-1,9 -3,3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 8 است.

$$a=-1 b=9$$

3p^{2}+8p-3 را به‌عنوان \left(3p^{2}-p\right)+\left(9p-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3p^{2}-p\right)+\left(9p-3\right)$$

در گروه اول از p و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$p\left(3p-1\right)+3\left(3p-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3p-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3p-1\right)\left(p+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3p-1=0 و p+3=0 را حل کنید.

$$p=\frac{1}{3} p=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3p^{2}+8p-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 8 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

8 را مجذور کنید.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -3.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64+36}}{2\times 3}$$

64 را به 36 اضافه کنید.

$$p=\frac{-8±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 100 را به دست آورید.

$$p=\frac{-8±10}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$p=\frac{-8±10}{6}$$

اکنون معادله p=\frac{-8±10}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8 را به 10 اضافه کنید.

$$p=\frac{2}{6}$$

کسر \frac{2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$p=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله p=\frac{-8±10}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10 را از -8 تفریق کنید.

$$p=-\frac{18}{6}$$

-18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$p=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$p=\frac{1}{3} p=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3p^{2}+8p-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3p^{2}+8p-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3p^{2}+8p=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$3p^{2}+8p=3$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3p^{2}+8p}{3}=\frac{3}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$p^{2}+\frac{8}{3}p=\frac{3}{3}$$

3 را بر 3 تقسیم کنید.

$$p^{2}+\frac{8}{3}p=1$$

\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{4}{3} شود. سپس مجذور \frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$p^{2}+\frac{8}{3}p+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$p^{2}+\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$$

1 را به \frac{16}{9} اضافه کنید.

$$p^{2}+\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

عامل p^{2}+\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(p+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

ساده کنید.

$$p+\frac{4}{3}=\frac{5}{3} p+\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{4}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$p=\frac{1}{3} p=-3$$