حل 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

برای n حل کنید

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3n^{2}+an+bn-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -45 است فهرست کنید.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -4 است.

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 را به‌عنوان \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

در گروه اول از 3n و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-3=0 و 3n+5=0 را حل کنید.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -4 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 را به 180 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

اکنون معادله n=\frac{4±14}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 14 اضافه کنید.

$$n=\frac{18}{6}$$

18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$n=3$$

اکنون معادله n=\frac{4±14}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از 4 تفریق کنید.

$$n=-\frac{10}{6}$$

کسر \frac{-10}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=-\frac{5}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$3n^{2}-4n=15$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 را بر 3 تقسیم کنید.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{2}{3} شود. سپس مجذور -\frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 را به \frac{4}{9} اضافه کنید.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

عامل n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{2}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$