حل 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

برای k حل کنید

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0.223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0.223606798$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

هر دو طرف معادله را در 4k^{2}+1 ضرب کنید.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

برای به توان رساندن \frac{-16k}{4k^{2}+1}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

\left(-16k\right)^{2} را بسط دهید.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

-16 را به توان 2 محاسبه کنید و 256 را به دست آورید.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

3 و 256 را برای دستیابی به 768 ضرب کنید.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4k^{2}+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

32 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 768k^{2} در 4k^{2}+1 استفاده کنید.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

16k^{4}+8k^{2}+1 را فاکتور بگیرید.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. 32 بار \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

از آنجا که \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} و \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} دارای مخرج مشترک هستند، با کم کردن صورت کسرها آنها را تفریق کنید.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

عمل ضرب را در 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2} انجام دهید.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

جملات با متغیر یکسان را در 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32 ترکیب کنید.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

هر دو طرف معادله را در \left(4k^{2}+1\right)^{2} ضرب کنید.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

t به جای k^{2} جایگزین شود.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 2560 را با a، 512 را با b، و -32 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

معادله t=\frac{-512±768}{5120} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

از آنجا که k=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی k=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$