حل 3x^2-x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6 است فهرست کنید.

$$1,-6 2,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-3 b=2$$

3x^{2}-x-2 را به‌عنوان \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-x-2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -1 را با b و -2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 3}$$

1 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 3}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{1±5}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 5 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{1±5}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{6}$$

کسر \frac{-4}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-x-2=0$$

2 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

تفریق -2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

-2 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-x=2$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{2}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

-\frac{1}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{6} شود. سپس مجذور -\frac{1}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

-\frac{1}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{3} را به \frac{1}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

\frac{1}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$