حل 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-372 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -1116 است فهرست کنید.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-36 b=31$$

3x^{2}-5x-372 را به‌عنوان \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 31 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و 3x+31=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -5 را با b و -372 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

25 را به 4464 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4489 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{5±67}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 67 اضافه کنید.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=12$$

اکنون معادله x=\frac{5±67}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 67 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{62}{6}$$

کسر \frac{-62}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{31}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

372 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

تفریق -372 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

-372 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-5x=372$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

372 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

-\frac{5}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{6} شود. سپس مجذور -\frac{5}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

124 را به \frac{25}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

\frac{5}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$