حل 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-250 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -750 است فهرست کنید.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-30 b=25$$

3x^{2}-5x-250 را به‌عنوان \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 25 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-10 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و 3x+25=0 را حل کنید.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -5 را با b و -250 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

25 را به 3000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 3025 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{5±55}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 55 اضافه کنید.

$$x=\frac{60}{6}$$

60 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=10$$

اکنون معادله x=\frac{5±55}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 55 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{50}{6}$$

کسر \frac{-50}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{25}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

250 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

تفریق -250 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

-250 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-5x=250$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

-\frac{5}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{6} شود. سپس مجذور -\frac{5}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{250}{3} را به \frac{25}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

\frac{5}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$