حل 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -4 را با b و -9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

16 را به 108 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 124 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 2\sqrt{31} اضافه کنید.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

4+2\sqrt{31} را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2\sqrt{31} را از 4 تفریق کنید.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

4-2\sqrt{31} را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

تفریق -9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

-9 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-4x=9$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

-\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{2}{3} شود. سپس مجذور -\frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

3 را به \frac{4}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

\frac{2}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$