حل 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-60 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -31 است.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 را به‌عنوان \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و 3x+5=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -31 را با b و -60 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

961 را به 720 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1681 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

متضاد -31 عبارت است از 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{31±41}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 31 را به 41 اضافه کنید.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=12$$

اکنون معادله x=\frac{31±41}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 41 را از 31 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{6}$$

کسر \frac{-10}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

60 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

تفریق -60 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

-60 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-31x=60$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

-\frac{31}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{31}{6} شود. سپس مجذور -\frac{31}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

-\frac{31}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

20 را به \frac{961}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

\frac{31}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$