حل 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-8 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -24 است فهرست کنید.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -10 است.

$$a=-12 b=2$$

3x^{2}-10x-8 را به‌عنوان \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -10 را با b و -8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-10 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

100 را به 96 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

متضاد -10 عبارت است از 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{10±14}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 10 را به 14 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{6}$$

24 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{10±14}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از 10 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{6}$$

کسر \frac{-4}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

8 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

تفریق -8 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

-8 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-10x=8$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

-\frac{10}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{3} شود. سپس مجذور -\frac{5}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

-\frac{5}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{8}{3} را به \frac{25}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{5}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$