حل 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

138 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-138 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -414 است فهرست کنید.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-18 b=23$$

3x^{2}+5x-138 را به‌عنوان \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 23 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-6=0 و 3x+23=0 را حل کنید.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+5x=138$$

138 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

تفریق 138 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 5 را با b و -138 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

25 را به 1656 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1681 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±41}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 41 اضافه کنید.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=6$$

اکنون معادله x=\frac{-5±41}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 41 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{46}{6}$$

کسر \frac{-46}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{23}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+5x=138$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

\frac{5}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{6} شود. سپس مجذور \frac{5}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

46 را به \frac{25}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

\frac{5}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$