حل 3x^2+53x-720=0

$$3 { x }^{ 2 } +53x-720=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{80}{3} = -26\frac{2}{3} \approx -26.666666667$$

$$x=9$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-720 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=53 ab=3\left(-720\right)=-2160$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -2160 است فهرست کنید.

$$-1,2160 -2,1080 -3,720 -4,540 -5,432 -6,360 -8,270 -9,240 -10,216 -12,180 -15,144 -16,135 -18,120 -20,108 -24,90 -27,80 -30,72 -36,60 -40,54 -45,48$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+2160=2159 -2+1080=1078 -3+720=717 -4+540=536 -5+432=427 -6+360=354 -8+270=262 -9+240=231 -10+216=206 -12+180=168 -15+144=129 -16+135=119 -18+120=102 -20+108=88 -24+90=66 -27+80=53 -30+72=42 -36+60=24 -40+54=14 -45+48=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 53 است.

$$a=-27 b=80$$

3x^{2}+53x-720 را به‌عنوان \left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 80 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-9\right)+80\left(x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-9\right)\left(3x+80\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-9=0 و 3x+80=0 را حل کنید.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 53 را با b و -720 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

53 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-12\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -720.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809+8640}}{2\times 3}$$

2809 را به 8640 اضافه کنید.

$$x=\frac{-53±\sqrt{11449}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 11449 را به دست آورید.

$$x=\frac{-53±107}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-53±107}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-53±107}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -53 را به 107 اضافه کنید.

$$x=\frac{54}{6}$$

54 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=9$$

اکنون معادله x=\frac{-53±107}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 107 را از -53 تفریق کنید.

$$x=-\frac{160}{6}$$

کسر \frac{-160}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{80}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

720 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}+53x-720-\left(-720\right)=-\left(-720\right)$$

تفریق -720 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+53x=-\left(-720\right)$$

-720 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}+53x=720$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+53x}{3}=\frac{720}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=\frac{720}{3}$$

720 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=240$$

\frac{53}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{53}{6} شود. سپس مجذور \frac{53}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}=240+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}$$

\frac{53}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=240+\frac{2809}{36}$$

240 را به \frac{2809}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=\frac{11449}{36}$$

عامل x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}=\frac{11449}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11449}{36}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{53}{6}=\frac{107}{6} x+\frac{53}{6}=-\frac{107}{6}$$

\frac{53}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$