حل 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

عامل

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-69 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -207 است فهرست کنید.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

جواب زوجی است که مجموع آن 14 است.

$$a=-9 b=23$$

3x^{2}+14x-69 را به‌عنوان \left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 23 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

196 را به 828 اضافه کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1024 را به دست آورید.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-14±32}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -14 را به 32 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{6}$$

18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{-14±32}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 32 را از -14 تفریق کنید.

$$x=-\frac{46}{6}$$

کسر \frac{-46}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{23}{3}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. 3 را برای x_{1} و -\frac{23}{3} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{23}{3} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 3 و 3 کم کنید.

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

ارزیابی

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$