حل 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

برای n حل کنید

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15.333333333$$

$$n=19$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3n^{2}+an+bn-874 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -2622 است فهرست کنید.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-57 b=46$$

3n^{2}-11n-874 را به‌عنوان \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

در گروه اول از 3n و در گروه دوم از 46 فاکتور بگیرید.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-19 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-19=0 و 3n+46=0 را حل کنید.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -11 را با b و -874 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

-11 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

121 را به 10488 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 10609 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

اکنون معادله n=\frac{11±103}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 103 اضافه کنید.

$$n=\frac{114}{6}$$

114 را بر 6 تقسیم کنید.

$$n=19$$

اکنون معادله n=\frac{11±103}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 103 را از 11 تفریق کنید.

$$n=-\frac{92}{6}$$

کسر \frac{-92}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=-\frac{46}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

874 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

تفریق -874 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

-874 را از 0 تفریق کنید.

$$3n^{2}-11n=874$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

-\frac{11}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{6} شود. سپس مجذور -\frac{11}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{874}{3} را به \frac{121}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

عامل n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

\frac{11}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$