حل 2x-3=x^2+3x+5

$$2x-3 = { x }^{ 2 } +3x+5$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}\approx -0.5-2.783882181i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}\approx -0.5+2.783882181i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

3x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

2x و -3x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$-x-3-x^{2}=5$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x-3-x^{2}-5=0$$

تفریق 5 را از -3 برای به دست آوردن -8 تفریق کنید.

$$-x-8-x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}-x-8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، -1 را با b و -8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\left(-1\right)}$$

1 را به -32 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم -31 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به i\sqrt{31} اضافه کنید.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{-2}$$

1+i\sqrt{31} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{31} را از 1 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{-2}$$

1-i\sqrt{31} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

3x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

2x و -3x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$-x-3-x^{2}=5$$

3 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-x-x^{2}=5+3$$

5 و 3 را برای دریافت 8 اضافه کنید.

$$-x-x^{2}=8$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-x^{2}-x=8$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{8}{-1}$$

-1 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=\frac{8}{-1}$$

8 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=-8$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-8+\frac{1}{4}$$

-8 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{4}$$

عامل x^{2}+x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$