حل 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0.25+0.968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0.25-0.968245837i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

2x و -4x را برای به دست آوردن -2x ترکیب کنید.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

تفریق 5 را از 1 برای به دست آوردن -4 تفریق کنید.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -4 را با a، -2 را با b و -4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 بار -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 بار -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

4 را به -64 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

ریشه دوم -60 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

متضاد -2 عبارت است از 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

2 بار -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

اکنون معادله x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2 را به 2i\sqrt{15} اضافه کنید.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

2+2i\sqrt{15} را بر -8 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{15} را از 2 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

2-2i\sqrt{15} را بر -8 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

2x و -4x را برای به دست آوردن -2x ترکیب کنید.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

تفریق 1 را از 5 برای به دست آوردن 4 تفریق کنید.

$$-2x-4x^{2}=4$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-4x^{2}-2x=4$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

تقسیم بر -4، ضرب در -4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

کسر \frac{-2}{-4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

4 را بر -4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{4} شود. سپس مجذور \frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

-1 را به \frac{1}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

\frac{1}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$