حل 28r^3+7r=40r^2+10

$$28 r ^ { 3 } + 7 r = 40 r ^ { 2 } + 10$$

برای r حل کنید

$$r = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

مراحل راه‌حل

40r^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$28r^{3}+7r-40r^{2}=10$$

10 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$28r^{3}+7r-40r^{2}-10=0$$

معادله را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$28r^{3}-40r^{2}+7r-10=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -10 و q به عامل پیشگام 28 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{14},±\frac{5}{7},±\frac{10}{7},±\frac{5}{2},±5,±10,±\frac{5}{28},±\frac{5}{4},±\frac{1}{14},±\frac{1}{7},±\frac{2}{7},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{28},±\frac{1}{4}$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$r=\frac{10}{7}$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، r-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 28r^{3}-40r^{2}+7r-10 را بر 7\left(r-\frac{10}{7}\right)=7r-10 برای به دست آوردن 4r^{2}+1 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$4r^{2}+1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، 0 را با b، و 1 را با c جایگزین کنید.

$$r=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$r=\frac{0±\sqrt{-16}}{8}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$r\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$r=\frac{10}{7}$$

برای r حل کنید (complex solution)

$$r=-\frac{1}{2}i=-0.5i$$

$$r = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$r=\frac{1}{2}i=0.5i$$