حل 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 25x^{2}+ax+bx+16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 400 است فهرست کنید.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

جواب زوجی است که مجموع آن -40 است.

$$a=-20 b=-20$$

25x^{2}-40x+16 را به‌عنوان \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از -4 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 5x-4=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 25 را با a، -40 را با b و 16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-40 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

-100 بار 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

1600 را به -1600 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

متضاد -40 عبارت است از 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

کسر \frac{40}{50} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

16 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

تفریق 16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$25x^{2}-40x=-16$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

تقسیم بر 25، ضرب در 25 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

کسر \frac{-40}{25} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

-\frac{8}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{4}{5} شود. سپس مجذور -\frac{4}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{16}{25} را به \frac{16}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

عامل x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

\frac{4}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$x=\frac{4}{5}$$