حل 25h^2+120h+144=

$$25 h ^ { 2 } + 120 h + 144 =$$

عامل

$$\left(5h+12\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 25h^{2}+ah+bh+144 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=120 ab=25\times 144=3600$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 3600 است فهرست کنید.

$$1,3600 2,1800 3,1200 4,900 5,720 6,600 8,450 9,400 10,360 12,300 15,240 16,225 18,200 20,180 24,150 25,144 30,120 36,100 40,90 45,80 48,75 50,72 60,60$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+3600=3601 2+1800=1802 3+1200=1203 4+900=904 5+720=725 6+600=606 8+450=458 9+400=409 10+360=370 12+300=312 15+240=255 16+225=241 18+200=218 20+180=200 24+150=174 25+144=169 30+120=150 36+100=136 40+90=130 45+80=125 48+75=123 50+72=122 60+60=120$$

جواب زوجی است که مجموع آن 120 است.

$$a=60 b=60$$

25h^{2}+120h+144 را به‌عنوان \left(25h^{2}+60h\right)+\left(60h+144\right) بازنویسی کنید.

$$\left(25h^{2}+60h\right)+\left(60h+144\right)$$

در گروه اول از 5h و در گروه دوم از 12 فاکتور بگیرید.

$$5h\left(5h+12\right)+12\left(5h+12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5h+12 فاکتور بگیرید.

$$\left(5h+12\right)\left(5h+12\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(5h+12\right)^{2}$$

مراحل استفاده از مربع دوجمله‌ای

این معادله سه جمله‌ای دارای یک شکل از مجذور سه جمله است که شاید در یک مضروب مشترک ضرب شده است. مجذورهای سه جمله‌ای را می‌توان با یافتن ریشه‌های دوم عبارت‌های اول و آخر، فاکتورگیری کرد.

$$factor(25h^{2}+120h+144)$$

بزرگ‌ترین مضروب مشترک ضرايب را پیدا کنید.

$$gcf(25,120,144)=1$$

ریشه دوم جمله ابتدایی 25h^{2} را پیدا کنید.

$$\sqrt{25h^{2}}=5h$$

ریشه دوم جمله انتهایی 144 را پیدا کنید.

$$\sqrt{144}=12$$

مجذور سه جمله‌ای برابر با مجذور دو جمله‌ای است که مجموع یا تفاضل ریشه‌های دوم عبارت‌های ابتدایی و انتهایی است و در آن علامت توسط علامت عبارت میانی مجذور سه جمله‌ای تعیین می‌شود.

$$\left(5h+12\right)^{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$25h^{2}+120h+144=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$h=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\times 25\times 144}}{2\times 25}$$

120 را مجذور کنید.

$$h=\frac{-120±\sqrt{14400-4\times 25\times 144}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$h=\frac{-120±\sqrt{14400-100\times 144}}{2\times 25}$$

-100 بار 144.

$$h=\frac{-120±\sqrt{14400-14400}}{2\times 25}$$

14400 را به -14400 اضافه کنید.

$$h=\frac{-120±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$h=\frac{-120±0}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$h=\frac{-120±0}{50}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{12}{5} را برای x_{1} و -\frac{12}{5} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$25h^{2}+120h+144=25\left(h-\left(-\frac{12}{5}\right)\right)\left(h-\left(-\frac{12}{5}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$25h^{2}+120h+144=25\left(h+\frac{12}{5}\right)\left(h+\frac{12}{5}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{12}{5} را به h اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$25h^{2}+120h+144=25\times \frac{5h+12}{5}\left(h+\frac{12}{5}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{12}{5} را به h اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$25h^{2}+120h+144=25\times \frac{5h+12}{5}\times \frac{5h+12}{5}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{5h+12}{5} را در \frac{5h+12}{5} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$25h^{2}+120h+144=25\times \frac{\left(5h+12\right)\left(5h+12\right)}{5\times 5}$$

5 بار 5.

$$25h^{2}+120h+144=25\times \frac{\left(5h+12\right)\left(5h+12\right)}{25}$$

بزرگترین عامل مشترک را از25 در 25 و 25 کم کنید.

$$25h^{2}+120h+144=\left(5h+12\right)\left(5h+12\right)$$

ارزیابی

$$\left(5h+12\right)^{2}$$