حل 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

برای k حل کنید

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 12k^{2}+ak+bk+12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 144 است فهرست کنید.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=9 b=16$$

12k^{2}+25k+12 را به‌عنوان \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

در گروه اول از 3k و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4k+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4k+3=0 و 3k+4=0 را حل کنید.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 24 را با a، 50 را با b و 24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

50 را مجذور کنید.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

-4 بار 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

-96 بار 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

2500 را به -2304 اضافه کنید.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

2 بار 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

اکنون معادله k=\frac{-50±14}{48} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -50 را به 14 اضافه کنید.

$$k=-\frac{36}{48}$$

کسر \frac{-36}{48} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 12، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=-\frac{3}{4}$$

اکنون معادله k=\frac{-50±14}{48} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از -50 تفریق کنید.

$$k=-\frac{64}{48}$$

کسر \frac{-64}{48} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 16، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=-\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$24k^{2}+50k=-24$$

هر دو طرف بر 24 تقسیم شوند.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

تقسیم بر 24، ضرب در 24 را لغو می‌کند.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

کسر \frac{50}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

-24 را بر 24 تقسیم کنید.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

\frac{25}{12}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{25}{24} شود. سپس مجذور \frac{25}{24} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

\frac{25}{24} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

-1 را به \frac{625}{576} اضافه کنید.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

عامل k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

ساده کنید.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

\frac{25}{24} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$