حل 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 23 را با a، 11 را با b و 9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

-4 بار 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

-92 بار 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

121 را به -828 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

ریشه دوم -707 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

2 بار 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به i\sqrt{707} اضافه کنید.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{707} را از -11 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$23x^{2}+11x=-9$$

هر دو طرف بر 23 تقسیم شوند.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

تقسیم بر 23، ضرب در 23 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

\frac{11}{23}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{11}{46} شود. سپس مجذور \frac{11}{46} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

\frac{11}{46} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{9}{23} را به \frac{121}{2116} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

عامل x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

\frac{11}{46} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$