حل 23(x-3)^2+2x^2=8

$$23 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } = 8$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25}\approx 2.76+0.585149554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}\approx 2.76-0.585149554i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$23\left(x^{2}-6x+9\right)+2x^{2}=8$$

از اموال توزیعی برای ضرب 23 در x^{2}-6x+9 استفاده کنید.

$$23x^{2}-138x+207+2x^{2}=8$$

23x^{2} و 2x^{2} را برای به دست آوردن 25x^{2} ترکیب کنید.

$$25x^{2}-138x+207=8$$

8 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}-138x+207-8=0$$

تفریق 8 را از 207 برای به دست آوردن 199 تفریق کنید.

$$25x^{2}-138x+199=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 25 را با a، -138 را با b و 199 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{\left(-138\right)^{2}-4\times 25\times 199}}{2\times 25}$$

-138 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-4\times 25\times 199}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-100\times 199}}{2\times 25}$$

-100 بار 199.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-19900}}{2\times 25}$$

19044 را به -19900 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{-856}}{2\times 25}$$

ریشه دوم -856 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±2\sqrt{214}i}{2\times 25}$$

متضاد -138 عبارت است از 138.

$$x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50}$$

اکنون معادله x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 138 را به 2i\sqrt{214} اضافه کنید.

$$x=\frac{138+2\sqrt{214}i}{50}$$

138+2i\sqrt{214} را بر 50 تقسیم کنید.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25}$$

اکنون معادله x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{214} را از 138 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{214}i+138}{50}$$

138-2i\sqrt{214} را بر 50 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25} x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$23\left(x^{2}-6x+9\right)+2x^{2}=8$$

از اموال توزیعی برای ضرب 23 در x^{2}-6x+9 استفاده کنید.

$$23x^{2}-138x+207+2x^{2}=8$$

23x^{2} و 2x^{2} را برای به دست آوردن 25x^{2} ترکیب کنید.

$$25x^{2}-138x+207=8$$

207 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}-138x=8-207$$

تفریق 207 را از 8 برای به دست آوردن -199 تفریق کنید.

$$25x^{2}-138x=-199$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$\frac{25x^{2}-138x}{25}=-\frac{199}{25}$$

تقسیم بر 25، ضرب در 25 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x=-\frac{199}{25}$$

-\frac{138}{25}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{69}{25} شود. سپس مجذور -\frac{69}{25} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\left(-\frac{69}{25}\right)^{2}=-\frac{199}{25}+\left(-\frac{69}{25}\right)^{2}$$

-\frac{69}{25} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}=-\frac{199}{25}+\frac{4761}{625}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{199}{25} را به \frac{4761}{625} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}=-\frac{214}{625}$$

عامل x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{69}{25}\right)^{2}=-\frac{214}{625}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{69}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{214}{625}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{69}{25}=\frac{\sqrt{214}i}{25} x-\frac{69}{25}=-\frac{\sqrt{214}i}{25}$$

\frac{69}{25} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25} x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$