حل 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 20x^{2}+ax+bx-1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -20 است فهرست کنید.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 را به‌عنوان \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

از 5x در 20x^{2}-5x فاکتور بگیرید.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4x-1=0 و 5x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$20x^{2}-x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 20 را با a، -1 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 بار 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

1 را به 80 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

ریشه دوم 81 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2 بار 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

اکنون معادله x=\frac{1±9}{40} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 9 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{40}$$

کسر \frac{10}{40} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{1±9}{40} وقتی که ± منفی است حل کنید. 9 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{8}{40}$$

کسر \frac{-8}{40} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$20x^{2}-x-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$20x^{2}-x=1$$

هر دو طرف بر 20 تقسیم شوند.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

تقسیم بر 20، ضرب در 20 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

-\frac{1}{20}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{40} شود. سپس مجذور -\frac{1}{40} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

-\frac{1}{40} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{20} را به \frac{1}{1600} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

\frac{1}{40} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$