حل 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-6 b=5$$

2x^{2}-x-15 را به‌عنوان \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -1 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

1 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{1±11}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{1±11}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{4}$$

کسر \frac{-10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-x-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-x=15$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

-\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{4} شود. سپس مجذور -\frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{2} را به \frac{1}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{1}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$