حل 2x^2-5x=12

$$2 x ^ { 2 } - 5 x = 12$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

12 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x-12=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -24 است فهرست کنید.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-8 b=3$$

2x^{2}-5x-12 را به‌عنوان \left(2x^{2}-8x\right)+\left(3x-12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(3x-12\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-5x=12$$

12 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x-12=12-12$$

تفریق 12 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-5x-12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -5 را با b و -12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

25 را به 96 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 2}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{5±11}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{5±11}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{4}$$

16 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{5±11}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{4}$$

کسر \frac{-6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-5x=12$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{12}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

12 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=6$$

-\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{4} شود. سپس مجذور -\frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

6 را به \frac{25}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{5}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=4 x=-\frac{3}{2}$$