حل 2x^2-3x-54=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 54 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-54 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=2\left(-54\right)=-108$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -108 است فهرست کنید.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=-12 b=9$$

2x^{2}-3x-54 را به‌عنوان \left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-6\right)+9\left(x-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-6\right)\left(2x+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-6=0 و 2x+9=0 را حل کنید.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -3 را با b و -54 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -54.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2\times 2}$$

9 را به 432 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 441 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2\times 2}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$x=\frac{3±21}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{3±21}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{3±21}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به 21 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=6$$

اکنون معادله x=\frac{3±21}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 21 را از 3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{4}$$

کسر \frac{-18}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{9}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

54 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

تفریق -54 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-3x=-\left(-54\right)$$

-54 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-3x=54$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{54}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{54}{2}$$

54 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=27$$

-\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{4} شود. سپس مجذور -\frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=27+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=27+\frac{9}{16}$$

27 را به \frac{9}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{441}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{21}{4}$$

\frac{3}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$