حل 2x^2-3x-27=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 27 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-3$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-27 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=2\left(-27\right)=-54$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -54 است فهرست کنید.

$$1,-54 2,-27 3,-18 6,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-54=-53 2-27=-25 3-18=-15 6-9=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=-9 b=6$$

2x^{2}-3x-27 را به‌عنوان \left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-9\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-9=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -3 را با b و -27 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -27.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+216}}{2\times 2}$$

9 را به 216 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±15}{2\times 2}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$x=\frac{3±15}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{3±15}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{3±15}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به 15 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{4}$$

کسر \frac{18}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{9}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{3±15}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از 3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

27 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-3x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

تفریق -27 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-3x=-\left(-27\right)$$

-27 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-3x=27$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{27}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{27}{2}$$

-\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{4} شود. سپس مجذور -\frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{27}{2}+\frac{9}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{27}{2} را به \frac{9}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{225}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$$

\frac{3}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$