حل 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

28 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

تفریق 28 را از -12 برای به دست آوردن -40 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x^{2}-x-20=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-20 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -20 است فهرست کنید.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-5 b=4$$

x^{2}-x-20 را به‌عنوان \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و x+4=0 را حل کنید.

$$x=5 x=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

28 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

تفریق 28 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

28 را از -12 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -2 را با b و -40 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

4 را به 320 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

متضاد -2 عبارت است از 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{2±18}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2 را به 18 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{4}$$

20 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=5$$

اکنون معادله x=\frac{2±18}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از 2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=5 x=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

12 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

تفریق -12 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

-12 را از 28 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x=40$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

-2 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

40 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-x=20$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

20 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

عامل x^{2}-x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=-4$$