حل 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -2 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

4 را به 8 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 12 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

متضاد -2 عبارت است از 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2 را به 2\sqrt{3} اضافه کنید.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

2+2\sqrt{3} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2\sqrt{3} را از 2 تفریق کنید.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

2-2\sqrt{3} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2x=1$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

-2 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{2} را به \frac{1}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

عامل x^{2}-x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$