حل 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-3 b=10$$

2x^{2}+7x-15 را به‌عنوان \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و x+5=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 7 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

49 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±13}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{4}$$

کسر \frac{6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±13}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{4}$$

-20 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-5$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+7x=15$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

\frac{7}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{4} شود. سپس مجذور \frac{7}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{2} را به \frac{49}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{7}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$