حل 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 10 است فهرست کنید.

$$1,10 2,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+10=11 2+5=7$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=2 b=5$$

2x^{2}+7x+5 را به‌عنوان \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+1=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 7 را با b و 5 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8 بار 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

49 را به -40 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±3}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 3 اضافه کنید.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

اکنون معادله x=\frac{-7±3}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{10}{4}$$

کسر \frac{-10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

5 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

تفریق 5 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+7x=-5$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

\frac{7}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{4} شود. سپس مجذور \frac{7}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{5}{2} را به \frac{49}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

\frac{7}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$