حل 2x^2+7x+3=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-3$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=2\times 3=6$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 6 است فهرست کنید.

$$1,6 2,3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+6=7 2+3=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=1 b=6$$

2x^{2}+7x+3 را به‌عنوان \left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x+1\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x+1=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 7 را با b و 3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 3}}{2\times 2}$$

-8 بار 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\times 2}$$

49 را به -24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±5}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-7±5}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±5}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 5 اضافه کنید.

$$x=-\frac{2}{4}$$

کسر \frac{-2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±5}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

3 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+7x+3-3=-3$$

تفریق 3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+7x=-3$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{3}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

\frac{7}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{4} شود. سپس مجذور \frac{7}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{3}{2} را به \frac{49}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{7}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$