حل 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-90 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90 را به‌عنوان \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-6=0 و 2x+15=0 را حل کنید.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 3 را با b و -90 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

9 را به 720 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 729 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±27}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 27 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=6$$

اکنون معادله x=\frac{-3±27}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 27 را از -3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{4}$$

کسر \frac{-30}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{15}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

90 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

تفریق -90 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

-90 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+3x=90$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{4} شود. سپس مجذور \frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

45 را به \frac{9}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

\frac{3}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$