حل 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-20 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -40 است فهرست کنید.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-5 b=8$$

2x^{2}+3x-20 را به‌عنوان \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-5=0 و x+4=0 را حل کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 3 را با b و -20 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

9 را به 160 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±13}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{4}$$

کسر \frac{10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{5}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±13}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

20 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

تفریق -20 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

-20 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+3x=20$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

20 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{4} شود. سپس مجذور \frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

10 را به \frac{9}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{3}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$