حل 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x^{2}+x-12=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-3 b=4$$

x^{2}+x-12 را به‌عنوان \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و x+4=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 2 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

4 را به 192 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 196 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±14}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 14 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{-2±14}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 14 را از -2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

24 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

تفریق -24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

-24 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}+2x=24$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

2 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=12$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

12 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

عامل x^{2}+x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=3 x=-4$$