حل 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 42 است فهرست کنید.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

جواب زوجی است که مجموع آن 17 است.

$$a=3 b=14$$

2x^{2}+17x+21 را به‌عنوان \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x+3=0 و x+7=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 17 را با b و 21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

17 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

-8 بار 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

289 را به -168 اضافه کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±11}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -17 را به 11 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{4}$$

کسر \frac{-6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±11}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -17 تفریق کنید.

$$x=-\frac{28}{4}$$

-28 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+17x=-21$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

\frac{17}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{17}{4} شود. سپس مجذور \frac{17}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

\frac{17}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{21}{2} را به \frac{289}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{17}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$