حل 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

3x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x و -3x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=-1 b=12$$

3x^{2}+11x-4 را به‌عنوان \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-1=0 و x+4=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

3x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x و -3x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 11 را با b و -4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

121 را به 48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±13}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{6}$$

کسر \frac{2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±13}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{6}$$

-24 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

3x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x و -3x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$3x^{2}+11x=4$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

\frac{11}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{11}{6} شود. سپس مجذور \frac{11}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

\frac{11}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{4}{3} را به \frac{121}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

عامل x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{11}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$